已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆x225+y29=1内的点,M是椭圆上的动点,则|MA|+|MB|的最大值为______;最小值为______.

问题描述:

已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆

x2
25
+
y2
9
=1内的点,M是椭圆上的动点,则|MA|+|MB|的最大值为______;最小值为______.

A为椭圆右焦点,设左焦点为F(-4,0),B在椭圆内,
则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10,
于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|.
当M不在直线BF与椭圆交点上时,M、F、B三点构成三角形,
于是|MB|-|MF|<|BF|,
而当M在直线BF与椭圆交点上时,
在第一象限交点时,有|MB|-|MF|=-|BF|,
在第三象限交点时有|MB|-|MF|=|BF|.
显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时,|MA|+|MB|有最小值,其最小值为
|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10-|BF|=10-

(2+4)2+(2−0)2
=10-2
10

当M在直线BF与椭圆第三象限交点时,|MA|+|MB|有最大值,其最大值为
|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10+|BF|=10+
(2+4)2+(2−0)2
=10+2
10

故答案为:10+2
10
,10-2
10

答案解析:由椭圆的定义可知,MA+MB=10+|MB|-|MF|.当M在直线BF与椭圆交点上时,在第一象限交点时有|MB|-|MF|=-|BF|,在第三象限交点时有|MB|-|MF|=|BF|.显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时,|MA|+|MB|有最小值,当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值,由两点间的距离公式能够求出MA+MB的最值.
考试点:椭圆的简单性质.
知识点:本题考查椭圆的定义及最值的求法,注意转化思想,以及三点共线求最值的方法,解题时要熟练掌握定义法的运用.