如图所示,从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线,垂足为焦点F1,若椭圆长轴一个端点为A,短轴一个端点为B,且OM∥AB.若F2为椭圆的右焦点,直线PQ过F2交椭圆于P、Q两点,且PQ⊥AB,当S△F1PQ=20√3时,求椭圆方程
问题描述：
如图所示,从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线,垂足为焦点F1,若椭圆长轴一个端点为A,
短轴一个端点为B,且OM∥AB.若F2为椭圆的右焦点,直线PQ过F2交椭圆于P、Q两点,且PQ⊥AB,当S△F1PQ=20√3时,求椭圆方程
答
由MF1⊥x轴知|MF1|＝b^2/a,
又OM∥AB,
∴△ABO∽△OMF1,a∶c＝b∶(b^2/a),
∴b＝c,a＝√2b,直线AB的斜率为√2/2,那么直线PQ的斜率为－√2,
椭圆方程可设为x^2/2＋y^2＝b^2……①,
直线PQ的方程为x＝(－√2/2)y－b……②,
设点P、Q的纵坐标分别为y1、y2,则S△F1PQ＝|F1F2|*(y1－y2)/2,而|F1F2|＝2b,
∴S△F1PQ＝b*(y1－y2),∴b*(y1－y2)＝20√3,
∴(y1－y2)^2＝1200/(b^2),
联解方程①②得：((－√2/2)y－b)^2＋2y^2＝2b^2,
整理得：5y^2＋2√2by－2b^2＝0,
∴y1＋y2＝－(2√2b)/5,y1y2＝－(2b^2)/5,
又(y1－y2)^2＝(y1＋y2)^2－4y1y2,
∴8b^2/25＋8b^2/5＝1200/(b^2),
解得b^2＝25,
∴所求椭圆方程为：x^2/2＋y^2＝25.