已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动,Q是OP的中点.(1)求点Q的轨迹方程;(2)若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A,B两点,求弦长|AB|.

问题描述:

已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动,Q是OP的中点.
(1)求点Q的轨迹方程;
(2)若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A,B两点,求弦长|AB|.

(1)设Q(x,y),∵Q是OP中点,∴P(2x,2y)
又∵点P在抛物线y2=4x上
∴(2y)2=4×2x,即y2=2x为点Q的轨迹方程
(2)∵F(1,0),kAB

3
,∴直线AB的方程为:y=
3
(x−1)

设点A(x1,y1),B(x2,y2
直线AB的方程代入y2=2x,消去y得:3x2-8x+3=0
x1+x2
8
3
x1x2=1

|AB|=
1+k2
(x1+x2)2−4x1x2
4
7
3

答案解析:(1)设Q(x,y),根据Q是OP中点,可得P(2x,2y),利用点P在抛物线y2=4x上,即可得到点Q的轨迹方程;
(2)设出直线AB的方程代入y2=2x,消去y得:3x2-8x+3=0,利用韦达定理,可计算弦长|AB|.
考试点:直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题.

知识点:本题考查求轨迹方程,考查弦长的计算,解题的关键是掌握代入法求轨迹方程,将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理求解.