已知函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点x1,x2满足|x1|+|x2|=2根号2,则b的最大值为
问题描述：
已知函数f(x)=ax^3+bx^2-a^2x(a>0)的两个极值点x1,x2满足|x1|+|x2|=2根号2,则b的最大值为
答
答：
f(x)=ax³+bx²-a²x
求导：f'(x)=3ax²+2bx-a²
极值点x1和x2满足方程3ax²+2bx-a²=0
根据韦达定理有：
x1+x2=-2b/(3a)
x1*x2=-a/3
|x1|+|x2|=2√2
两边平方得：
x1²+2|x1*x2|+x2²=8
(x1+x2)²-2x1*x2+2|x1*x2|=8
4b²/(9a²)+2a/3+2|-a/3|=8
b²/a²+3a=18
b²=(18-3a)a²>=0
设g(a)=(18-3a)a²=18a²-3a³
求导：g'(a)=36a-9a²
解g'(a)=0得：a=4（a=0不符合a>0舍去）
当00，g(a)是增函数
当a>4时，g'(a)所以：a=4时，g(a)取得最大值g(4)=(18-12)(4)²=96
所以：b²=(18-3a)a²所以：b的最大值为4√6
答
∵f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）,依题意,x1、x2是方程f′（x）=0的两个根,∵x1x2=-a/3＜0且|x1|+|x2|=2根号2 ,∴(x1-x2)^2=8．∴(-2b/3a)^2+4a/3=8,∴b^2=3a^2（6-a）,∵b^2≥0,∴0＜a≤6．设p（a）=3a^2（6-a）,则p...