求由参数方程确立的二阶导数d^2*y/dx^2x = t - 2arctant ; y = t^3/3 -t我把dx/dt和dy/dt算了出来,然后用第二个除以第一个,得到dy/dx,这样处理是否正确,然后在将dy/dx的结果对t微分,得到二阶导数,这样处理正确不?但是算出来跟答案差得很远,第一步应该是对的,主要是第二步怎么处理.
问题描述：
求由参数方程确立的二阶导数d^2*y/dx^2
x = t - 2arctant ; y = t^3/3 -t
我把dx/dt和dy/dt算了出来,然后用第二个除以第一个,得到dy/dx,这样处理是否正确,然后在将dy/dx的结果对t微分,得到二阶导数,这样处理正确不?但是算出来跟答案差得很远,第一步应该是对的,主要是第二步怎么处理.
答
已知x = t - 2arctant ；y = t³/3 -t；求d²y/dx²
dy/dx=y′=(dy/dt)/(dx/dt)=(t²-1)/[1-2/(1+t²)]=1+t²
d²y/dx²=dy′/dx=(dy′/dt)/(dx/dt)=2t/[1-2/(1+t²)]=2t(t²+1)/(t²-1)
答
dx/dt=-2[1/(1+t^2)],dy/dt=t^2-1则y'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=[t^2-1]/{-2[1/(1+t^2)]}=(1/2)(1-t^4)
则dy'/dt=-2t^3
y"=dy'/dx=(dy'/dt)/(dx/dt)=(-2t^3)/{-2[1/(1+t^2)]}=t^3(1+t^2)