有这样一个递推公式:2A(n+1)=An+n+3,又告诉A1=2,我想知道由上面的式子怎样推出{An}的通项公式:An=n+1 我自己做了半天也没推出来,

问题描述:

有这样一个递推公式:2A(n+1)=An+n+3,又告诉A1=2,我想知道由上面的式子怎样推出{An}的通项公式:An=n+1
我自己做了半天也没推出来,

当n=1时,A1=2;
当n>=2时,2An=A(n-1)+(n-1)+1 用递推公式减这个式子得到:
2[A(n+1)-An]=An-A(n-1)+1
设Bk=An-A(n-1),则Bk+1=A(n+1)-An
即2B(k+1)=Bk+1
显然,Bk=1
所以,A(n+1)-An=1
所以,An为等差数列,公差d=1
又因为,A1=2
所以,An=n+1(n>=2)
代入n=1,符合
所以,An=n+1
//之所以要代入n=1的是因为Bk是在n>=2的情况下设出的
//小写字母均为下标

数学归纳法a1=2,a2=3,a3=4推断an=n+1后证明即可

设2(A(n+1) + a(n+1) +b)=An + an +b
有2A(n+1)=An-an-2a-b 而A(n+1)=An+n+3
所以-a=1,-2a-b=3;a=-1,b=-1
即有2(A(n+1)-(n+1)-1)=An-n-1
A1-1-1=0,所以有An-n-1=0,An=n+!