已知x ,y ,z都是正数且满足xyz（x+y+z）=1试求(x+y)(y+z)取得最小值时x,y,z的值各是多少?书上的解答是这样的：因为x ,y ,z都是正数,所以（x+y）+(y+z)>(x+z),(y+z)+(z+x)>(x+y),（z+x）+（x+y）>（y+z）,于是可以构造以x+y,y+z,z+x为边长的三角形ABC（其中假设AB=z+x,BC=x+y,AC=y+z） 由海伦公式得根号下【xyz（x+y+z）】=1 所以三角形面积S=1/2AC*BCsinC=1/2（x+y）*(y+z)sinC=2S=2 但是书中指出了等号成立的条件下x+y=y+z,我不知为什么是这样,因为照上面的解答结果,等号不是应该在sinC=1的时候成立吗?也就是说是∠C为90°时候成立吗?怎么得到的x+y=y+z?另外,x,y,z分别是怎么求出来的?
问题描述：
已知x ,y ,z都是正数且满足xyz（x+y+z）=1试求(x+y)(y+z)取得最小值时x,y,z的值各是多少?
书上的解答是这样的：
因为x ,y ,z都是正数,所以（x+y）+(y+z)>(x+z),(y+z)+(z+x)>(x+y),（z+x）+（x+y）>（y+z）,
于是可以构造以x+y,y+z,z+x为边长的三角形ABC（其中假设AB=z+x,BC=x+y,AC=y+z）
由海伦公式得根号下【xyz（x+y+z）】=1
所以三角形面积S=1/2AC*BCsinC=1/2（x+y）*(y+z)sinC=2S=2
但是书中指出了等号成立的条件下x+y=y+z,我不知为什么是这样,因为照上面的解答结果,等号不是应该在sinC=1的时候成立吗?也就是说是∠C为90°时候成立吗?怎么得到的x+y=y+z?
另外,x,y,z分别是怎么求出来的?
答
书上应该是说，∠C为90°和x+y=y+z都成立的情况，那样的话(x+z)2=(x+y)2+(x+z)2,再由xyz(x+y+z)=1.三式连立有x4=1，故有x=z=1,y等于根号2减1。
答
(x+y)(z+y)=xz+y(x+y+z)
因xyz（x+y+z)=1
=xz+1/xz
=(√xy-1/√xy)²+2>=2
当xy=1时取得最小值
取得最小值时的x,y,z并不唯一.