证明三角形三条中线的平方和比三条边的平方和等于3:4如题
问题描述：
证明三角形三条中线的平方和比三条边的平方和等于3:4
如题
答
设有△ABC,AB=c,AC=b,BC=a；BC边上的中线AM=ma (a是下标),另外AC边上的中线是mb,AB边上的中线是mc.
延长AM到A',使MA'=AM,连接A'B和A'C,由AA'与BC互相平分知ABA'C是平行四边形（如图）.
其对边相等 邻角互补,图中∠BAC是锐角,∠ACA'是钝角.据余弦定理
在△ABC中,b²+c²-2bccosBAC=a²,就是 b²+c²-a²=2bccosBAC； ①
在△AA'C中,AC+A'C-2AC*A'CcosACA'=AA'²,其中cosACA'=-cosBAC,AA'=2ma,
∴4ma²-（b²+c²）=2bccosBAC； ②
联合①、②得4ma²-(b²+c²)=b²+c²-a²,即4ma²=2b²+2c²-a²；
同理对于其它中线,有 4mb²=2a²+2c²-b², 4mc²=2b²+2a²-c²,
三式左右两端分别相加并整理得4（ma²+mb²+mc²）=3（a²+b²+c²）
∴（ma²+mb²+mc²）/（a²+b²+c²）=3/4.