求二重积分∫∫sin√(x^2+y^2)dxdy 定义域D:π^2≤x^2+y^2≤4π^2上题表示sin根号下(x^2+y^2)的二重积分.书中的解答过程是令x=rcosθ,y=rsinθ.然后再化为二次积分∫dθ∫rsinrdr.中的是积分上下限.可我却不知道∫rsinrdr是如何化出来的.这一步是最搞不懂的.
问题描述：
求二重积分∫∫sin√(x^2+y^2)dxdy 定义域D:π^2≤x^2+y^2≤4π^2
上题表示sin根号下(x^2+y^2)的二重积分.书中的解答过程是令x=rcosθ,y=rsinθ.然后再化为二次积分∫dθ∫rsinrdr.中的是积分上下限.可我却不知道∫rsinrdr是如何化出来的.这一步是最搞不懂的.
答
直角坐标的二重积分化为极坐标时,
x=rcosθ,y=rsinθ => 被积函数 sin√(x^2+y^2) = sinr
而面积元素 dS = r *dr * dθ,于是化为二次积分时,
I = ∫dθ ∫ r * sinr dr