(2013•烟台一模)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.

问题描述:

(2013•烟台一模)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.

(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.

(I)证明:在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE(II)由(I...
答案解析:(1)证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明,即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直,即可证明线面垂直.
(2)建立空间坐标系,根据坐标表示出两个平面的法向量,结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式,再利用函数的有关知识求出余弦的范围.
考试点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.
知识点:解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征,以便于找到线面之间的平行、垂直关系,并且对建立坐标系也有一定的帮助,利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法.