设F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P(OP向量+OF2向量)×F2P向量=0(O为坐标原点)且|PF1|=根号3|PF2|,则双曲线的离心率是?

问题描述:

设F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P
(OP向量+OF2向量)×F2P向量=0(O为坐标原点)且|PF1|=根号3|PF2|,则双曲线的离心率是?

这太难了。。。。

根号3+1

OP向量-OF2向量=F2P向量,于是F1P与F2P垂直,点P在双曲线上,
|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=√3|PF2|,解得|PF2|=(√3+1)a,|PF1|=(3+√3)a
|PF1|²+|PF2|²=|F1F2|²得(16+6√3)a²+(4+2√3)a²=4c²
e²=4+2√3,∴e=1+√3

√3/3解析:计算略

你把图画出来,根据:(OP向量+OF2向量)×F2P向量=0 推断出一个垂直关系,推断出OF2=OP 因为菱形的对角线 互相垂直
然后根据OF2=OP=OF1 推断出F1P垂直于F2P 三角形 F1PF2是直角三角形
又PF1|=根号3|PF2|,所以 角F1F2P=60° F1F2=2c
PF2=c PF1= (根号3) c 利用PF1-PF2=2a
就能解出离心率了,后面你自己算 还是比较简单的
要对图形多挖掘一下