已知A、B是椭圆x2a2+25y29a2＝1上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果|AF2|+|BF2|=85a，AB的中点到椭圆左准线距离为32，则椭圆的方程______．
问题描述：
已知A、B是椭圆
+x2 a2
＝1上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果|AF2|+|BF2|=25y2
9a2
a，AB的中点到椭圆左准线距离为8 5
，则椭圆的方程______． 3 2
答
∵|AF2|+|BF2|=
a，∴2a-|AF1|+2a-|BF1|=8 5
a，∴|AF1|+|BF1|=8 5
a，12 5
记AB的中点为M，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1，M1，
由椭圆第二定义知：|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e（|AA1|+|BB1|）=
a，12 5
而e=
，∴|AA1|+|BB1|=3a，∴2|MM1|=3a，又|MM1|=4 5
，∴a=1，故椭圆方程为 x2+3 2
＝1．25y2
9
故答案为 x2+
＝1．25y2
9
答案解析：由椭圆的第一定义求出|AF1|+|BF1|，利用椭圆的第二定义及梯形中位线的性质求出a的值，从而得到椭圆方程．
考试点：椭圆的标准方程．
知识点：本题考查椭圆的第一定义、第二定义，椭圆的标准方程，以及梯形的中位线的性质．