用积分求解球面积的推导步骤要解闭合曲面积分公式 (闭合曲面积分ds) 那个

问题描述:

用积分求解球面积的推导步骤
要解闭合曲面积分公式 (闭合曲面积分ds) 那个

用对面积的曲面积分喽
假设曲面的方程是x^2+y^2+z^2=R^2,由对称性,只考虑第一卦限部分的面积
第一卦限的球面的方程是z=√(R^2-x^2-y^2),αz/αx=-x/z,αz/αy=-y/z
dS=Rdxdy/√(R^2-x^2-y^2)
第一卦限的球面在xoy面的投影区域是D:x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0
所以,球面面积S=8∫∫Rdxdy/√(R^2-x^2-y^2)=8∫(0~π/2)dθ∫(0~R) R/√(R^2-ρ^2)ρdρ=4πR∫(0~R) 1/√(R^2-ρ^2)ρdρ=4πR^2