计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2(x^2+y^2）介于z=0,和z=2之间部分下侧

本题最简单的方法是高斯公式补Σ1：z=2,x²+y²≤4,上侧则两曲面加起来为封闭曲面,由Gauss公式∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫ (1-1)dxdydz=0因此原积分与Σ1上的积分互为相反数原式=-∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy ...麻烦就用第二类曲面积分算下嘛，我老是算不出来其实做数学题应该是用合适的方法做适合的题，第二类曲面积分的主要方法是高斯公式，原始算法只是个次要方法，一般来说，平面的题会用它算就够了。先算：-∫∫ z dxdy，将曲面投影到xoy面，下侧取负，投影区域为：x²+y²≤4 -∫∫ z dxdy =(1/2)∫∫ (x²+y²) dxdy =(1/2)∫∫ r²r drdθ =(1/2)∫[0→2π]dθ∫[0→2] r³ dr =(1/2)(2π)(1/4)r⁴ |[0→2] =4π再算∫∫(z²+x)dydz，将曲面以yoz面为分界线，分为两部分，前部分叫Σ1，后一部分叫Σ2 先计算Σ1上积分，前侧取正，曲面方程为：x=√(2z-y²)，积分区域由z=(1/2)y²与z=2所围 ∫∫(z²+x)dydz =∫∫(z²+√(2z-y²))dydz 先积z =∫[-2→2]dy∫[(1/2)y²→2](z²+√(2z-y²))dz =∫[-2→2] [(1/3)z³+(1/2)(2/3)(2z-y²)^(3/2)|[(1/2)y²→2] dy =∫[-2→2] [-(1/24)y⁶+8/3+(1/3)(4-y²)^(3/2)] dy =64/7+2π先计算Σ2上积分，后侧取负，曲面方程为：x=-√(2z-y²)，积分区域由z=(1/2)y²与z=2所围 ∫∫(z²+x)dydz =-∫∫(z²-√(2z-y²))dydz =-∫[-2→2]dy∫[(1/2)y²→2](z²-√(2z-y²))dz =-64/7+2π综上最后结果为：4π+(64/7+2π)+(-64/7+2π)=8π真的没必要会这种方法，太麻烦了。