如图:在五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,∠BAC=∠EAD,M是CD中点,试判断 BM,EM的大小关系并说明理由.

问题描述:

如图:在五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,∠BAC=∠EAD,M是CD中点,试判断
BM,EM的大小关系并说明理由.

BM=EM.理由如下:
分别取AC、AD的中点F、G,连接BF、FM、GM、GE,
∵∠ABC=∠AED=90°,
∴BF=FA=

1
2
AC,EG=GA=
1
2
AD,
∴∠BAF=∠ABF,∠GAE=∠GEA,
∴∠BFC=2∠BAC,∠EGD=2∠EAD,
而∠BAC=∠EAD,
∴∠BFC=∠EGD,
又∵M是CD中点,F是AC的中点,G是AD的中点,
∴FM、GM是△CAD的中位线,
∴FM=
1
2
AD,FM∥AD,GM=
1
2
AC,GM∥AC,
∴∠CFM=∠CAD,∠DGM=∠DAC,FM=EG,GM=BF,
∴∠BFC+∠CFM=∠EGD+∠DGM,即∠BFM=∠EGM,
在△BFM和△EGM中
BF=GM
∠BFM=∠EGM
FM=EG

∴△BFM≌△EGM,
∴BM=EM.