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“31a+1b+1c”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy的调和平均数为3”，则x+2y的最小值是（　　） A.3 B.5 C.7 D.8

分类: 作业答案 • 2021-12-31 20:40:45

问题描述：

“

3

1

a

+

1

b

+

1

c

”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy的调和平均数为3”，则x+2y的最小值是（　　）
A. 3
B. 5
C. 7
D. 8

答

由“调和平均数”定义知，
x，y，xy的调和平均数为

3

1

x

+

1

y

+

1

xy

＝3，
整理得：x+y+1=xy，x=

y+1

y−1

，
∵x=

y+1

y−1

＞0，
∴y＞1．
则x+2y=

y+1

y−1

+2y=

y+1+2y2−2y

y−1

=

2y2−y+1

y−1

=

2(y−1)2+3(y−1)+2

y−1

=2(y−1)+

2

y−1

+3≥2

2(y−1)•

2

y−1

+3＝7．
当且仅当2（y-1）=

2

y−1

，即y=2时上式等号成立．
∴x+2y的最小值是7．
故选：C．