在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件.以任意△ABC三边AB,BC,CA分别向外作正

这道题就是托勒密定理及其推广的证明.
托勒密定理：圆内接四边形ABCD,求证:AB*CD+AD*BC=AC*BD.
证明：
先画一个圆,内接四边形ABCD
连接AC,BD
在BD 上找一点M
作∠BAM=∠CAD
因为 ∠ABD=∠ACD
所以 三角形ABM 相似于 三角形ACD
AB/BM=AC/CD 变形
AB*CD=AC*BM
而且 ∠MAD=∠BAC 又因为 ∠ADM=∠ACB
所以 三角形ADM 相似于 三角形ACB
AD/DM=AC/CB 变形
AD*BC=AC*DM
所以 AD*BC+AB*CD=(DM+BM)*AC=AC*BD.
定理的推广:凸四边形ABCD中,有AB*CD+AD*BC>=AC*BD,仅当四边形内接于圆时等号成立.
证明：
作角ABM=角ACD,角BAM=角CAD,由△ABM相似于△ACD,AB*CD=AC*BM,AB/AM=AC/AD,又角CAB=角DAM,故△ABC相似于△AMD,得
AD*BC=AC*MD,两式相加得AB*CD+AD*BC=AC*(BM+MD)>=AC*BD,仅当M在BD上时等号成立,这时角ABD=角ACD,即四边形是圆内接四边形.