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如图，矩形EFGH的边EF=6cm，EH=3cm，在平行四边形ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=3/5，点EFBC在同一直线上，且FB=1cm，矩形从F点开始以1cm/s的速度沿直线FC向右移动，当D点落在边CF所在

分类: 作业答案 • 2021-12-31 13:33:02
问题描述：

如图，矩形EFGH的边EF=6cm，EH=3cm，在平行四边形ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=

3
5
，点EFBC在同一直线上，且FB=1cm，矩形从F点开始以1cm/s的速度沿直线FC向右移动，当D点落在边CF所在直线上即停止．

（1）在矩形运动过程中，何时矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点？
（2）在矩形运动过程中，当矩形与平行四边形重叠部分为五边形时，求出重叠面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出时间t的范围．是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S=16.5cm2？若存在，求出时间t，若不存在，说明理由．（3）若矩形运动的同时，点Q从点C出发沿C-D-A-B的路线，以0.5cm/s的速度运动，矩形停止时点Q也即停止运动，则点Q在进行一边上运动的时间为多少s？

答

（1）作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=3/5，
∴BM=4，AM=3，
①当GF边通过AB边的中点N时，
有BF=

1
2
BM=2，
∴t1=3（s）．
②当EH边通过AB边的中点N时，
有BE=
1
2
BM=2，
∴BF=2+6=8，
∴t2=8+1=9（s）．
③当GF边通过CD边的中点K时，
有CF=2，
∴t3=1+10+2=13（s），
综上，当t等于3s或9s或13s时，矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点．
（2）设当矩形运动到t（s）（7＜t＜11）时与平行四边形的重叠部分为五边形，
则BE=t-7，AH=4-（t-7）=11-t，
在矩形EFGH中，有AH∥BF，
∴△AHP∽△BEP，
∴
BE
HA
=
PE
PH
，
∴
11−t
t−7
＝
EP
3−EP
，
∴EP=
3(11−t)
4
，
∴S=18-
1
2
(11−t)×
3(11−t)
4
，
=−
3
8
（t-11）2+18（7＜t＜11），
由对称性知当11＜t＜15时重叠部分仍为五边形，
综上S与t的函数关系式为：S=−
3
8
（t-11）2+18（7＜t＜15且t≠11），
把s=16.5代入得：16.5=−
3
8
（t-11）2+18，
∴t1=9，t2=13，
即当t等于9s或13s时重叠部分的面积为16.5cm2．
（3）点Q从点C运动到点D所需的时间为：
5÷（
1
2
）=10（s），
此时，DG=1+14-10=5，
点Q从D点运动开始到与矩形相遇所需的时间为：
5
1+
1
2
＝
10
3
，
∴矩形从与点Q相遇到运动到停止所需的时间为：5−
10
3
＝
5
3
，
从相遇到停止点Q运动的路程为：
1
2
×
5
3
＝
5
6
，
5
6
+
5
3
＝
5
2
＜6，
即点Q从相遇到停止一直在矩形的边GH上运动，
∴点Q在矩形的一边上运动的时间为：
5
3
s．

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