.试判断函数f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3) 的可微性和解析性.
问题描述：
.试判断函数f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3) 的可微性和解析性.
答
设f(z)=u+iv,其中 u=x³-3xy,v=3yx² -y³
由可导条件需满足:柯西-黎曼条件,即 ∂u/∂x=∂v/∂y且∂u/∂y=-∂v/∂x
而∂u/∂x=6x²+3y,∂u/∂y=-3x,
∂v/∂x=6xy,∂v/∂y=3x²-3y²
若要满足柯西-黎曼条件,需要 6x²+3y=3x²-3y²,-3x=-6xy
即x²+y²+y=0,y=1/2,
所以f(z)在直线x²+y²+y=0,y=1/2,上可导,
而由解析的定义,f(z)在整个复平面上处处不解析.那可微性呢可导即可微