设F1,F2为椭圆C:x^2/6m^2+y^2/2m^2=1的左右焦点,点P∈C,且向量PF1*向量PF2=0,|向量PF1|*|向量PF2|=4
问题描述：
设F1,F2为椭圆C:x^2/6m^2+y^2/2m^2=1的左右焦点,点P∈C,且向量PF1*向量PF2=0,|向量PF1|*|向量PF2|=4
(1)求椭圆方程
(2)作以F2为圆心,以1为半径的圆,过动点Q作F2的切线,切点为M,且使|向量QF|=根2|向量QM|,求动点Q轨迹方程
答
答案：(1)∵c2=a2-b2,∴c2=4m2．又∵=0
∴PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16m2
由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=,
(|PF1|+|PF2|)2=16m2+8=24m2
从而得m2=1,c2=4m2=4,c=2．
∴F1(-2,0)、F2(2,0)．
(2)∵F1(-2,0),F2(2,0),
由已知得|QF1|=|QM|,即|QF1|2=2|QM|2,所以
有|QF1|2=2(|QF2|2-1),
设Q(x,y),则(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2-1]
即(x-6)2+y2=32(或x2+y2-12x+4=0)
综上所述,所求轨迹方程为(x-6)2+y2=32．