两个底半径相等的圆柱体 正交后 公共部分的体积

因为密度是均匀的,不用三重积分,
设两个圆柱面,其一x^2+y^2=R^2,母线和Z轴平行,其二x^2+z^2=R^2,母线和y轴平行,
考虑对称性,只计算第一卦限,再乘以8即可,
在第一卦限上,在XOY平面投影D为1/4圆,x^2+y^2=R^2,在XOZ平面也是1/4圆,而在YOZ平面投影是正方形,
V=8∫[D]∫√（R^2-x^2)dxdy
=8∫[0,R]dx∫[0,√（R^2-x^2)]   dy
=8∫[0,R] [0,√（R^2-x^2)] √（R^2-x^2)  y dx
=8∫[0,R](R^2-x^2)dx
=8(R^2x-x^3/3[0,R]
=8(R^3-R^3/3)
=16R^3/3. 
 

 
也可用一元函数积分作,设圆柱面x^2+y^2=R^2和圆柱面x^2+z^2=R^2垂直相交,
在第一卦限内,公共体部分在YOZ平面上投影是正方形,在平行于YOZ平面上可以切出无数正方形“薄片”,边长分别为φ（x)=√（R^2-x^2),ψ(x)=√（R^2-x^2)
面积S(x)=φ（x)*ψ(x)=R^2-x^2,
∴V=8∫[0,R]（R^2-x^2)dx
=8（R^2x-x^3/3)[0,R]
=8(R^3-R^3/3)
=16R^3/3.