如图所示，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2． （1）求二面角B-AF-D的大小； （2）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．
问题描述：
如图所示，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=
．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．
2
（1）求二面角B-AF-D的大小；
（2）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．
答
（1）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG．
由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．
于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B-AF-D的平面角．
由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC=
，OG=π 4
．
2
2
由OB⊥OG，OB=OD=
，得∠BGD=2∠BGO=
2
2
．π 2
（2）连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，
则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD．
过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．
因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，
所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC．
由
+HP CF
=HP AE
+AP AC
=1，得HP=PC AC
．2 3
又因为S菱形ABCD=
AC•BD=1 2
，
2
故四棱锥H-ABCD的体积V=
S菱形ABCD•HP=1 3
．2
2
9