已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）-f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0． ①求f（1）的值； ②判断f（x）的单调性； ③若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．
问题描述：
已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（
）=f（x1）-f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．x1 x2
①求f（1）的值；
②判断f（x）的单调性；
③若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．
答
解 ①由f（
）=f（x1）-f（x2），令x1=x2，则f（1）=0；x1 x2
②设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=f（
），x1 x2
因为
＞1，所以f（x1 x2
）＜0，x1 x2
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
③因为f（3）=-1，又f（
）=f（9）-f（3），即f（9）=2f（3）=-2，9 3
所以f（|x|）＜-2，可化为f（|x|）＜f（9），
又f（x）为（0，+∞）上的单调减函数，
所以|x|＞9，解得x＜-9或x＞9，
所以f（|x|）＜-2的解集为（-∞，9）∪（9，+∞）．