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已知z为虚数，z+9/z−2为实数．（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）求|z-4|的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-31 12:13:14

问题描述：

已知z为虚数，z+

9

z−2

为实数．
（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）求|z-4|的取值范围．

答

（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），则z-2=x-2+yi，
由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分）
则 z+

9

z−2

＝2+yi+

9

yi

＝2+(y−

9

y

)i∈R，…（4分）
得y−

9

y

＝0，y=±3，…（6分）所以z=2+3i或z=2-3i．…（7分）
（2）∵z+

9

z−2

＝x+yi+

9

x+yi−2

＝x+

9(x−2)

(x−2)2+y2

+[y−

9y

(x−2)2+y2

]i∈R，
∴y−

9y

(x−2)2+y2

＝0，∵y≠0，∴（x-2）²+y²=9，…（10分）
由（x-2）²＜9得x∈（-1，5），…（12分）
∴|z−4|＝|x+yi−4|＝

(x−4)2+y2

＝

(x−4)2+9−(x−2)2

=

21−4x

∈(1，5)．…（15分）