泰勒级数的问题
泰勒级数的问题
求括号内所示结束的麦克劳林公式
一、Fx=tanx(3阶)
答案是令tanx=ax+bx^3+o(x^4),tanx=sinx/cosx,sinx=x-x^3/6+o(x^4),cosx=1-x^2/2+o(x^3),接着代入求出系数,我想问为什么tanx,sinx的余项不是o(x^3)而是o(x^4)?不是3阶吗?
二、Fx=[(1+x)/(1-x)]^0.5 (3阶)
答案是把(1+x)/(1-x)写成1+2x/(1-x),令2x/(1-x)=t
然后Fx=1+t/2-t^2/8+t^3/16+o(t^3)
t=2x/(1-x)=2x[1+x+x^2+o(x^2)] (为什么这里是o(x^2),不是o(x^3)?里面的几次方到底是怎么确定的?)
t^2=[2x/(1-x)]^2=4x^2[1+x+o(x^2)]^2=4x^2[1+2x+o(x)] 这两个等号为什么是这样的?第一个等号后面怎么直接把x^2忽略了?后面为什么又是变成1+2x+o(x）?是为了保证最后得到O(x^3)才这样省略的吗?到底应该展开到哪一项,还有o()里的x的次方数要怎么确定呢?希望老师讲解一下,
第一个是因为
sinx=sinx=x-x^3/6+x^5/120+...它的四次项系数为0,所以可以写为sinx=x-x^3/6+o(x^4),cos同理,然后相除的结果至少有四阶小量,是满足要求的.
“令tanx=ax+bx^3+o(x^4)”,这几句话别管它,没道理的.不知道tan的展开之前,只能令tanx=ax+bx^3+o(x^3)
“”t=2x/(1-x)=2x[1+x+x^2+o(x^2)] (为什么这里是o(x^2),不是o(x^3)?里面的几次方到底是怎么确定的?)“”
这里是对的,泰勒公式的皮亚诺余项就应该是这样.+x^n+o(x^n)
"第一个等号后面怎么直接把x^2忽略了?"因为x^2就是一个一阶小量就是o(x)
过程是这样的（1+x+o(x^2)）^2=[1+2x+x*2+o(x)]=[1+2x+o(x)]sinx第四项系数是0我知道，但是为什么不能写成o(x^3)呢？不是要按3阶展开吗？还有第二个问题里被忽略的那些是因为只要求展开到3阶，所以更高阶的就忽略了？我觉得我还是有点迷茫啊，能再解释下吗？谢谢咯