设有一组圆Ck：（x-k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有
问题描述：
设有一组圆Ck：（x-k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是 ___ （写出所有真命题的代号）．
答
根据题意得：圆心（k-1，3k），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k：圆心（k-1，3k），半径为
k2，
2
圆k+1：圆心（k-1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为
（k+1）2，
2
两圆的圆心距d=
=
(k-k+1)2+(3k-3k-3)2
，
10
两圆的半径之差R-r=
（k+1）2-
2
k2=2
2
k+
2
，
2
任取k=1或2时，（R-r＞d），Ck含于Ck+1之中，选项①错误；
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（-k+1）2+9k2=2k4，即10k2-2k+1=2k4（k∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故答案为：②④