已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆反证法：假若E-BA不可逆,(E-BA)X=0 ,方程有非零解,通过什么说明(E-AB)X=0 也有非零解,然后E-AB的行列式为0,说明E-AB不可逆,与已知条件矛盾,所以原命题成立.通过什么说明(E-AB)X=0 也有非零解呢?
问题描述：
已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆
反证法：假若E-BA不可逆,(E-BA)X=0 ,方程有非零解,通过什么说明(E-AB)X=0 也有非零解,然后E-AB的行列式为0,说明E-AB不可逆,与已知条件矛盾,所以原命题成立.通过什么说明(E-AB)X=0 也有非零解呢?
答
齐次线性方程组(E-BA)X=0有非零解的的条件是R(E-BA)＜n 既丨E-BA丨=丨E丨-丨BA丨=丨E丨-丨B丨丨A丨=丨E-AB丨=0
而于题中所给条件E-AB可逆矛盾
答
只要找出一个非零解满足（E-AB）Y = 0,就可以说明与题设矛盾,
假设E-BA不可逆,则（E-BA）X = 0 有非零解,则可得 X=BAX.
又 （E-AB）AX = AX - ABAX = AX-AX = 0,即AX为（E-AB）Y = 0的一个非零解,由此可证
也有人是这么解得,（好强大的说）
因为E-AB可逆,则存在可逆阵C使得C(E-AB)=E,则C-CAB=E,
左乘B右乘A,有BCA-BCABA=BA
有BCA=(E+BCA)BA推出(BCA+E)-E=(E+BCA)BA,整理有(BCA+E)(E-BA)=E,根所定义知E-BA可逆