请证明爱尔可斯定理：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形．

答

证明：连接AE、CE、CD，M是AE的中点，N是CE的中点，H是CD的中点，连接QM、QN、PM、CN、PH、GH，
∵△PQG由线段AD、BE、CF的中点构成的三角形，M是AE的中点，N是CE的中点，H是CD的中点，
∴QM=

1

2

AB，QN=

1

2

BC，PH=

1

2

AC，NG=

1

2

EF，PM=

1

2

DE，HG=

1

2

DF，∠NQE=∠CBE，∠AMP=∠AED，∠ABE=∠MQE，
∵AB=BC=AC，EF=DE=DF，
∴QM=QN=PH，PM=NG=HG，
∵∠PMQ=∠AMQ+∠AMP=∠MQE+∠QEM+∠AED=∠MQN+∠NQE+∠QED=∠ABE+∠QED=∠ABC+∠CBE+∠QED=60°+∠EBC+∠QED，∠QNG=∠QNC+∠CNG=∠NQE+∠QEN+∠NED+∠DEF=∠NQE+∠QED+60°，
∴∠PMQ=∠GNQ，
在△PQM和△GQN中，

QM＝QN PM＝NG ∠PMQ＝∠GNQ

，
∴△PQM≌△GQN（SAS），
∴PQ=QG，
同理可证：PG=PQ=QG，
∴△PQG是正三角形．