已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2

问题描述:

已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2
(1)若三角形F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且向量F1P垂直向量F1Q,求直线l的方程

(1)设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0).
根据题意知
a=2b
a2−b2=1
,解得a2=
4
3
,b2=
1
3
故椭圆C的方程为
3x2
4
+3y2=1.
(2)由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1.
当直线l的斜率不存在时,其方程为x=1,不符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1).

y=k(x−1)
x2
2
+y2=1
,得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2(k2−1)
2k2+1
,
F1P
=(x1+1,y1),
F1Q
=(x2+1,y2)
因为
F1P

F1Q
,所以
F1P

F1Q
=0,即
(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+1+k2(x1−1)(x2−1)
=(k2+1)x1x2−(k2−1)(x1+x2)+k2+1
=(k2+1)
2(k2−1)
2k2+1
−(k2−1)
4k2
2k2+1
+k2+1
=
7k2−1
2k2+1
=0,解得k2=
1
7
,即k=±
7
7

故直线l的方程为x+
7
y−1=0或x−
7
y−1=0.