距离空间、线性空间、内积空间、赋范线性空间的联系

4.1 联系
如果在实数域或复数域上距离空间是完备的,该空间被称为完备距离空间.实数域或复数域上的完备线性赋范空间被称为巴拿赫空间.内积空间是特殊的线性赋范空间,而完备的内积空间被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出.
在线性空间中赋以“范数”,然后在范数的基础上导出距离,即线性赋范空间,完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间.范数可以看出长度,线性赋范空间相当于定义了长度的空间,所有的线性赋范空间都是距离空间.
以有限维空间来说,向量的范数相当于向量的模的长度.但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念—向量的夹角,特别是两个向量的正交.内积空间是特殊的线性赋范空间,在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念,从而在内积空间中建立起相应的几何学.用内积导出的范数来定义距离,Banach空间就成为了希尔伯特空间.
4.2 区别
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限,但是只有距离结构、没有代数结构的空间,在应用过程中受到限制.线性赋范空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物,较距离空间有很大的优越性.
线性赋范空间就是在线性空间中,给向量赋予范数,即规定了向量的长度,而没有给出向量的夹角.
在内积空间中,向量不仅有长度,两个向量之间还有夹角.特别是定义了正交的概念,有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别.任何内积空间都是线性赋范空间,但线性赋范空间未必是内积空间.
线性赋范空间X成为内积空间的充要条件是：范数‖.‖对于一切属于X的x,y,满足
‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2\x09(3-3)
上式(3-3)被称为平行四边形公式或中线公式.