f:r->r' g:r'->r''是环同态,若同态合gf成是环同构,证明g是满同态和是f单同态,求高手帮忙~
问题描述：
f:r->r' g:r'->r''是环同态,若同态合gf成是环同构,证明g是满同态和是f单同态,求高手帮忙~
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答
∵gf:r->r''是同构,∴对任意s∈r'',存在a∈r,使得gf(a)=s
即有f(a)∈r',使得g(f(a))=s,此即说明g是满同态.
对任意b,c∈r,若f(b)=f(c),则f(b-c)=0
∴gf(b-c)=0,而gf是同构,∴b-c=0
即b=c,此即说明f是单同态.