RT
问题描述：
RT
①行满秩矩阵 乘以 列满秩矩阵 结果一定满秩②列满秩矩阵 乘以 行满秩矩阵 结果一定不满秩,这两句对吗
我不知怎么用理论证明,举了几个例子是这样.
答
两句都不对.
①取行向量A = (1,0),列向量B = (0,1)'.
则A行满秩,B列满秩,但AB = 0,r(AB) ②直接取A,B都是满秩方阵,此时AB也满秩.
如果将②改为:A不是行满秩的,且B不是列满秩的,那么可以证明AB不满秩.
因为r(AB) ≤ r(A) 即AB既不是行满秩的也不是列满秩的.限制在实矩阵的范围内是对的,
复矩阵有反例如A = (1,i), AA' = 0 (即便是方阵也不行).
对实矩阵实际上有更一般的结论: r(AA') = r(A).
当A行满秩, 可得r(AA') = r(A) = A的行数 = AA'的阶数.
以下讨论限制在实数范围.
因为r(A) = r(A'), 设B = A', 只需证明r(B'B) = r(B).
(这个转化意义不大, 只是写起来顺手一点).
考虑两个线性方程组: BX = 0①与B'BX = 0②.
显然, ①的解总是②的解.
而若X是②的解, 有(BX)'BX = X'B'BX = 0.
由此可得BX = 0, 即X也是①的解.
于是①与②同解, 解空间维数相同.
即n-r(B) = n-r(B'B), 也即r(B) = r(B'B).