设集合A={x|x=m^2+n^2,m,n in Z}即集合A是由所有能够写成两个整数的平方和的整数的集合.求证：若s,t in A
问题描述：
设集合A={x|x=m^2+n^2,m,n in Z}即集合A是由所有能够写成两个整数的平方和的整数的集合.求证：若s,t in A
答
若s, t∈S，t ≠0，
仍设s = m^2 + n^2，t = u^2 + v^2，其中m, n, u, v∈Z.
因为t ≠0，故u, v不同时为零.
则s/t = st/t^2 = (m^2 + n^2)(u^2 + v^2)/(u^2 + v^2)^2
= ((mu + nv)^2 + (mv - nu)^2)/(u^2 + v^2)^2
= {(mu + nv)/(u^2 + v^2)}^2 + {(mv - nu)/(u^2 + v^2)}^2
设p = (mu + nv)/(u^2 + v^2), q = (mv - nu)/(u^2 + v^2),
则p, q为有理数, 且s/t=p²+q².
答
请把题目写完整……
答
s=a²+b²
t=c²+d²
st=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
=(a²c²+2abcd+b²d²)+(a²d²-2abcd+b²c²)
=(ac+bd)²+(ad-bc)²
所以st也属于A