在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两相互垂直,且OA>OB>OC,分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S1,S2,S3,则S1,S2,S3中的最小值是_.
问题描述:
在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两相互垂直,且OA>OB>OC,分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S1,S2,S3,则S1,S2,S3中的最小值是______.
答
取BC中点D,连接OD,AD,则平面OAD平分三棱锥的体积,
即三角形OAD面积为S1,
在Rt△BOC中,OD是斜边BC上的中线,∴OD=
BC,1 2
∵OA⊥OB,OA⊥OC,∴OA⊥平面BOC,
∵OD⊂平面BOC,
∴OA⊥OD,
∴S1=OA×
OD,1 2
即S12=
OA2OD2=1 4
OA2BC2=1 16
OA2(OB2+OC2)=1 16
(OA2OB2+OA2OC2).1 16
同理可得S22=
(OA2OB2+OB2OC2),1 16
S32=
(OA2OC2+OB2OC2),1 16
因为OA>OB>OC
所以S12>S22>S32
所以S1,S2,S3中的最小值是S3.
故答案为:S3.