在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两相互垂直,且OA>OB>OC,分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S1,S2,S3,则S1,S2,S3中的最小值是_.

问题描述:

在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两相互垂直,且OA>OB>OC,分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S1,S2,S3,则S1,S2,S3中的最小值是______.

取BC中点D,连接OD,AD,则平面OAD平分三棱锥的体积,
即三角形OAD面积为S1
在Rt△BOC中,OD是斜边BC上的中线,∴OD=

1
2
BC,
∵OA⊥OB,OA⊥OC,∴OA⊥平面BOC,
∵OD⊂平面BOC,
∴OA⊥OD,
∴S1=OA×
1
2
OD,
即S12=
1
4
OA2OD2=
1
16
OA2BC2=
1
16
OA2(OB2+OC2)=
1
16
(OA2OB2+OA2OC2).
同理可得S22=
1
16
(OA2OB2+OB2OC2),
S32=
1
16
(OA2OC2+OB2OC2),
因为OA>OB>OC
所以S12>S22>S32
所以S1,S2,S3中的最小值是S3
故答案为:S3