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已知正方形ABCD的边长为6，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，则三棱锥A-BCM的体积的最大值是（　　） A.48 B.36 C.30 D.24

分类: 作业答案 • 2021-12-29 14:42:57
问题描述：

已知正方形ABCD的边长为6，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|=10，则三棱锥A-BCM的体积的最大值是（　　）
A. 48
B. 36
C. 30
D. 24

答

如图，由题意知，因为三棱锥A-BCM的体积=三棱锥M-ABC的体积，
底面△ABC的面积一定，当高最大时，体积最大；
当平面MAB⊥平面ABCD时，过点M作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
在△MAB中，|MA|+|MB|=10，AB=6，
显然，当|MA|=|MB|=5时，高MN最大，并且MN=

MA2−AN2
=
52−32
=4，
所以，三棱锥A-BCM的最大体积为：VA-BCM=VM-ABC=
1
3
•S△ABC•MN=
1
3
×
1
2
×6×6×4=24．
故选D

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