如图，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′． （1）求证：A′D⊥EF； （2）求二面角A′-EF-D的余弦值．
问题描述：
如图，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的余弦值．
答
（1）证明：取EF的中点O，连结OD，OA'，
因为DE=DF，A'E=A'F，
所以EF⊥OA'，EF⊥OD，
因为OA'∩OD=O，
所以EF⊥平面A'OD，…（3分）
因为A'D⊂平面A'EF，
所以A'D⊥EF…（4分）
（2）由已知，EF⊥OA'，EF⊥OD，
所以∠A'OD是二面角A'-EF-D的平面角．…（5分）
因为OD＝
，OA′＝3
3
2
，A′D＝2．
3
2
所以cos∠A′OD=
＝
+3 4
−27 4
3 4 2•
•
3
2
3
3
2
．7 9
所以所求角的余弦值为
．…（8分）7 9