在半径为R的圆形铁皮上割去一个圆心角为a的扇形,使剩下部分围成一个圆锥,a为何值时圆锥的容积最大?
问题描述：
在半径为R的圆形铁皮上割去一个圆心角为a的扇形,使剩下部分围成一个圆锥,a为何值时圆锥的容积最大?
不用过于详细,大概方法就可以了```文字叙述也OK
答
冰蓝是对的.我计算过了,很繁琐的.
设所围圆锥的底面半径为r,高为h,根据题意得
2*pi*r=(2*pi-a)*R
所以r=(2*pi-a)*R/(2*pi) [【1】
h^2=R^2-r^2
h＝（R^2-r^2）^0.5 【2】
圆锥体积
V=1/3*pi*r^2*h【3】
将【1】和【2】代入【3】
得到V＝1/24/pi^2*R^3*(-2*pi+a)^2*(-a*(-4*pi+a))^(1/2) 【4】
对【4】求导,并令dV/da＝0
dV/da＝1/12/pi^2*R^3*(-2*pi+a)*(-a*(-4*pi+a))^(1/2)+1/48/pi^2*R^3*(-2*pi+a)^2/(-a*(-4*pi+a))^(1/2)*(4*pi-2*a)＝0
解得：
a =
[2*pi]
[ 2*pi+2/3*6^(1/2)*pi]
[ 2*pi-2/3*6^(1/2)*pi]
显然,a=2*pi和a=2*pi+2/3*6^(1/2)*pi不合理
所以,a＝2*pi*(1-√6/3)≈0.3670*pi＝66.0612度.