若 a、b、c 为任意的三个整数,证明 abc(a3 -b3 )(b3 -c3 )(c3 -a3 ) 能被7整除

首先,a,b,c如果是7的倍数,那么显然原题成立.那么如果都不是7的倍数呢?下面的推理需要一点小知识：
首先要知道一个数被7除的余数情况：0-6,共6种.
但是一个整数的3次方被7除的余数情况只有三种,0,1,6（不信你自己算算看：本来余1,2,4的数,3次方以后,都余1,本来余3,5,6的数,3次方以后,都余6,）
也就是说a3,b3,c3里面只有两种情况1,6,（当然不能是0,因为我们已经假设他们都不是7的倍数了）那么a3,b3,c3里面至少有两个数对于7的余数是相同的.
那么(a3 -b3 )(b3 -c3 )(c3 -a3 ) 必然能被7整除,原题得证.