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设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的长为（　　） A.2p B.p C.p2 D.4p

分类: 作业答案 • 2021-12-28 18:25:02
问题描述：

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的长为（　　）
A. 2p
B. p
C.

p
2

D. 4p

答

假设k存在，设AB方程为：y=k（x-

p
2
），
与抛物线y2=2px（p＞0）联立得k2x2-（k2+2）px+
k2p2
4
=0，
设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），
∵∠CBF=90°，∴（x1-
p
2
）（x1+
p
2
）+y12=0，
∴x12+y12=
p2
4
，∴x12+2px1-
p2
4
=0（x1＞0），∴x1=
5
−2
2
p，
∵x1x2=
p2
4
，∴x2=
2+
5
2
p，
∴|AF|-|BF|=（x2+
p
2
）-（x1+
p
2
）=2p，
故选：A．

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