已知z、ω为复数,(1+3i)z为实数,ω=z/2+i,且|ω|=52,求z,ω.
问题描述:
已知z、ω为复数,(1+3i)z为实数,ω=
,且|ω|=5z 2+i
,求z,ω.
2
答
设z=x+yi(x,y∈R),
∵(1+3i)z=(1+3i)(x+yi)=(x-3y)+(3x+y)i∈R
∴虚部3x+y=0,即y=-3x ….(2分)
又因ω=
=z 2+i
=x+yi 2+i
=x−3xi 2+i
且|ω|=5−x−7xi 5
,….(4分)
2
∴
=50,…(6分)
(−x)2+(−7x)2
25
解之得x=5或-5 ….(8分)
∴z=5-15i或-5+15i ….(10分)
∴ω=1+7i或ω=-1-7i. ….(12分)