已知z、ω为复数,(1+3i)z为实数,ω=z/2+i,且|ω|=52,求z,ω.

问题描述:

已知z、ω为复数,(1+3i)z为实数,ω=

z
2+i
,且|ω|=5
2
,求z,ω.

设z=x+yi(x,y∈R),
∵(1+3i)z=(1+3i)(x+yi)=(x-3y)+(3x+y)i∈R
∴虚部3x+y=0,即y=-3x       ….(2分)
又因ω=

z
2+i
x+yi
2+i
x−3xi
2+i
−x−7xi
5
且|ω|=5
2
,….(4分)
(−x)2+(−7x)2
25
=50
,…(6分)
解之得x=5或-5                                 ….(8分)
∴z=5-15i或-5+15i                               ….(10分)
∴ω=1+7i或ω=-1-7i.                        ….(12分)