轨迹方程数学题
轨迹方程数学题
已知圆C：x^2+(y-1)^2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证：对m∈R,直线l圆C总有两个不同的交点.
(2)设l与圆C交于不同两点A,B若|AB|=根号17,求l的倾斜角.
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程.
(4)若定点P（1,1）分向量AB之比λ=1/2（即向量AP=λ向量PB）,求此时直线l的方程.
1.用点到直线距离公式
则距离
d=|0*m-1+1-m|/（根号（m²+1）=|m|/（m²+1）
=1/（|m|+1/|m|）
因为|m|≥0 由均值不等式
所以|m|+1/|m|≥2
所以
d=1/（|m|+1/|m|）∈（0,1/2】＜圆半径根号5
所以对m∈R,直线l圆C总有两个不同的交点.
2.圆的半径=根号5,由|AB|=根号17,
可得圆心到直线的距离＝根号下[r^2-（AB一半）^2]＝二分之根号3
圆心坐标C(0,1)
圆心到直线的距离d＝|m*0-1+1-m|÷根号（1＋m^2）＝二分之根号3
解得：m1＝根号3 m2＝－根号3
又直线斜率k＝m
所以倾斜角a＝arctanm
所以a1＝arctan根号3＝60度
a2＝arctan（－根号3）＝120度
3.设A（x1,y1)B(x2,y2)
l:m(x-1)+1
x1^2+(y1-1)^2=5
x2^2+(y2-1)^2=5
所以(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-2)(y1-y2)=0
设M（x,y)
则2x=x1+x2,2y=y1+y2
所以2x=(2y-2)m=0
又m=(y-1)/(x-1)
2x=(2y-2)(y-1)/(x-1)
整理得x^2+y^2-x-2y+1=0
4.作CD垂直AB于D
△CDP中PD^2=1-CD^2
△DCA中AD^2=5-CD^2
AD-3PD
所以PD＝根号2/2
|-1+1-m|/根号（m^2+1)=根号2/2
m=正负1
y=x或y=2-x