已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1． （1）求椭圆C的方程； （2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||
问题描述：
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． |OP| |OM|
答
（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，
由已知得
，解得a=4，c=3，
a−c＝1 a+c＝7
所以椭圆C的方程为
+x2 16
=1．y2 7
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．
由已知
=λ2及点P在椭圆C上，可得|OP|2
|OM|2
=λ2，9x2+112 16(x2+y2)
整理得（16λ2-9）x2+16λ2y2=112，其中x∈[-4，4]．
①λ=
时，化简得9y2=112．3 4
所以点M的轨迹方程为y=±
（-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．4
7
3
②λ≠
时，方程变形为3 4
+x2
112 16λ2−9
=1，y2
112 16λ2
其中x∈[-4，4]；
当0＜λ＜
时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；3 4
当
＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；3 4
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．