要将图中的∠MON平分,小梅设计了如下方案:在射线OM,ON上分别取OA=OB,过A作DA⊥OM于A,交ON于D,过B作EB⊥ON于B交OM于E,AD,EB交于点C,过O,C作射线OC即为MON的平分线,试说明这样做的理由.

问题描述:

要将图中的∠MON平分,小梅设计了如下方案:在射线OM,ON上分别取OA=OB,过A作DA⊥OM于A,交ON于D,过B作EB⊥ON于B交OM于E,AD,EB交于点C,过O,C作射线OC即为MON的平分线,试说明这样做的理由.

∵DA⊥OM,EB⊥ON,∴∠OAD=∠OBE=90°,
在△OAD和△OBE中,

∠OAD=∠OBE
OA=OB
∠AOD=∠BOE(公共角)

∴△OAD≌△OBE(ASA),
∴OD=OE,∠ODA=∠OEB,
∴OD-OB=OE-OA,即BD=AE,
在△BCD和△ACE中,
∠ODA=∠OEB
∠BCD=∠ACE(对顶角)
BD=AE

∴△BCD≌△ACE(AAS),
∴BC=AC,
∴OC平分∠MON(角平分线的判定).