从地球上正对月球发射一火箭,火箭恰好获得能到达月球的能量,问其后在何处火箭的速度最小,并计算出火箭击中月球表面时的速度.月球的运动可以忽略,以下数据均为已知：地球质量Me=6*10^24kg,地球半径Re=6.4*10^6m,月球质量Mm=
从地球上正对月球发射一火箭,火箭恰好获得能到达月球的能量,问其后在何处火箭的速度最小,并计算出火箭击中月球表面时的速度.月球的运动可以忽略,以下数据均为已知：地球质量Me=6*10^24kg,地球半径Re=6.4*10^6m,月球质量Mm=7.3*10^22,月球半径Rm=1.7*10^6,地月距离s=3.8*10^8m,万有引力G=6.67*10^-11
必要的公式 必要时有点说明
火箭与地心相距 L=3.42*10^8m 第二问是3000m/s
分析,很简单,火箭速度最小一定是在地球与月亮引力“真空”点,在那里地球和月亮的引力相互抵消……过了那一点,月球引力占优势的时候,火箭会加速!
万有引力F=GMm/r²∝M/r²,所以,假设那个引力0点到月球的距离是r,则它到地球的距离是s-r,可列方程：Mm/r²=Me/(s-r)²,代入数据求解可得r≈3.7751×(10^7)m.
要到达这个点,这在地球发射的时候火箭必须拥有不小于G(Me)m/(s-r)的动能(不计算冲出大气层时的摩擦耗散的话,火箭拥有这么大的动能才可能在之后不用助推器的情况下到达地月引力平衡点),假设在地球上火箭是以这么大的初动能升空,那么到达地月引力平衡点后火箭速度是0,之后月球引力做功,到达月球表面的速度v满足：0.5mv²=G(Mm)m/r,v²=2G(Mm)/r≈2×(2/3)×10^(-10)×7.3×(10^22)÷[3.7751×(10^7)]≈2.5783×(10^5)m²/s²,∴v≈507.7696965m/s.
注：为了计算方便,大多数时候,万有引力常数6.67×10^(-11)Nm²/Kg²可以写作(2/3)×10^(-10)Nm²/Kg²,方便计算中约分.