数学期望和方差的几条公式

方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数.在概率论和数理统计中,方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度.在许多实际问题中,研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义.
 
　设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]^2}存在,则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差,记为D(X),Var(X)或DX. 
　　即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差,而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）.即用来衡量一组数据的离散程度的统计量. 
　　方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.（标准差.方差越大,离散程度越大.否则,反之) 
　　若X的取值比较集中,则方差D(X)较小 
　　若X的取值比较分散,则方差D(X)较大. 
　　因此,D（X）是刻画X取值分散程度的一个量,它是衡量X取值分散程度的一个尺度.
 
由定义知,方差是随机变量 X 的函数 
　　g(X)=∑[X-E(X)]^2 pi 
　　数学期望.即： 
 

 

 
　　由方差的定义可以得到以下常用计算公式： 
　　D(X)=∑xi²pi-E(x)² 
　　D(X)=∑（xi²pi+E(X)²pi-2xipiE(X)) 
　　=∑xi²pi+∑E(X)²pi-2E(X)∑xipi 
　　=∑xi²pi+E(X)²-2E(X)² 
　　=∑xi²pi-E(x)² 
　　方差其实就是标准差的平方.