已知数列{an}中,a1=5/6,a2=19/36并且数列log2(a2-a13),log2(a3-a23),…,log2(an+1-an3)是公差为-1的等差数列,而a2-a12,a3-a22,…,an+1-an2是公比为1/3的等比数列

问题描述:

已知数列{an}中,a1=

5
6
,a2=
19
36
并且数列log2(a2-
a1
3
),log2(a3-
a2
3
),…,log2(an+1-
an
3
)是公差为-1的等差数列,而a2-
a1
2
,a3-
a2
2
,…,an+1-
an
2
是公比为
1
3
的等比数列,求数列{an}的通项公式.

∵数列{log2(an+1-

an
3
)}是公差为-1的等差数列,
∴log2(an+1-
an
3
)=log2(a2-
1
3
a1)+(n-1)(-1)=log2
19
36
-
1
3
×
5
6
)-n+1=-(n+1),
于是有an+1-
an
3
=2-(n+1).①
又∵数列{an+1-
1
2
an}是公比为
1
3
的等比数列,
∴an+1-
1
2
an=(a2-
1
2
a1)•3-(n-1)
=(
19
36
-
1
2
×
5
6
)•3-(n-1)=3-(n+1)
于是有an+1-
1
2
an=3-(n+1).②
由①-②可得
1
6
an=2-(n+1)-3-(n+1)
∴an=
3
2n
-
2
3n