已知数列{an}中,a1=5/6,a2=19/36并且数列log2(a2-a13),log2(a3-a23),…,log2(an+1-an3)是公差为-1的等差数列,而a2-a12,a3-a22,…,an+1-an2是公比为1/3的等比数列
问题描述:
已知数列{an}中,a1=
,a2=5 6
并且数列log2(a2-19 36
),log2(a3-a1 3
),…,log2(an+1-a2 3
)是公差为-1的等差数列,而a2-an 3
,a3-a1 2
,…,an+1-a2 2
是公比为an 2
的等比数列,求数列{an}的通项公式. 1 3
答
∵数列{log2(an+1-
)}是公差为-1的等差数列,an 3
∴log2(an+1-
)=log2(a2-an 3
a1)+(n-1)(-1)=log2(1 3
-19 36
×1 3
)-n+1=-(n+1),5 6
于是有an+1-
=2-(n+1).①an 3
又∵数列{an+1-
an}是公比为1 2
的等比数列,1 3
∴an+1-
an=(a2-1 2
a1)•3-(n-1)1 2
=(
-19 36
×1 2
)•3-(n-1)=3-(n+1).5 6
于是有an+1-
an=3-(n+1).②1 2
由①-②可得
an=2-(n+1)-3-(n+1),1 6
∴an=
-3 2n
.2 3n