已知α,β∈(0,π),且cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=3/5,求sin2β的值
问题描述：
已知α,β∈(0,π),且cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=3/5,求sin2β的值
答
因为
cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα
=cos2αcosβ-sin2asinβ-2(cosαcosβ-sinαsinβ)cosα
=(cos²α-sin²α)cosβ-2sinαcosαsinβ-2cos²αcosβ+2sinαsinβcosα
=cos²αcosβ-sin²αcosβ-2sinαcosαsinβ-2cos²αcosβ+2sinαsinβcosα
=-cos²αcosβ-sin²αcosβ-2sinαcosαsinβ+2sinαsinβcosα
=-cosβ(cos²α+sin²α)
=-cosβ
所以,cosβ=-3/5
因为 β∈(0,π),
所以,sinβ>0
则 sinβ=√(1-cos²β)=4/5
所以,sin2β=2sinβcosβ=2*(4/5)(-3/5)=-24/25