已知函数f（x）=ex-x（e是自然数对数的底数） （1）求f（x）的最小值； （2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M＝{x|1/2≤x≤2}，且M∩P＝ϕ，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=ex-x（e是自然数对数的底数）
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M＝{x|
≤x≤2}，且M∩P＝ϕ，求实数a的取值范围． 1 2
答
（1）f'（x）=ex-1由f'（x）=0得x=0
当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，
故f（x）在（-∞，+∞）连续，
故fmin（x）=f（0）=1．
（2）∵M∩P≠φ，
即不等式f（x）＞ax在区间[
，2]有解f（x）＞ax可化为（a+1）x＜ex∴g(x)＝1 2
−1，x∈[ex x
，2]，a＜1 2
−1在区间[ex x
，2]a＜gmax(x)∵g′(x)＝1 2
故g(x)在区间[(x−1)ex
x2
，1]递减，1 2
在区间[1，2]递增，g(
)＝21 2
−1
e
又g(2)＝
e2−1，且g(2)＞g(1 2
)∴gmax(x)＝g(2)＝1 2
e2−11 2
所以，实数a的取值范围为(−∞，
e2−1)．1 2