单缝衍射中,衍射花样的光强和缝宽有何关系

第二章 光的衍射
1、单缝衍射图样亮度分布的推算
现在仍从惠更斯—菲涅耳原理出发,采用振幅矢量法来处理这一问题.
如图所示,我们设想把单缝出的波阵面划分成N条宽度相等的极窄的狭条,并设N是一个很大的数,如N=10或100或1000（图中,N=10）.第i条处的波阵面发出的子波振动传到P处所决定的光振动,可用振幅矢量 表示,那么N个狭条在P处所决定的合振动的振幅矢量A就是
其中每一矢量 的大小都一样.在相邻两狭条处,到P点的光程差依次递增 ,所以相邻的两个振幅矢量和之间的周相差为 ,第一个 和最后一个 之间的周相差为 .由于N数很大,这些矢量合成时,它们是一个接一个的排列在圆弧 上,矢量 就是合振动的振幅矢量A,如图所示.的弧长 ,所对圆心角 ,圆半径 ,按几何关系可算出
式中的参量
上(4)式表明,如令 ,则
求得*明条中心 处的合振动振幅为
设 处光强度为 ,P处光强度为I,由于 ,所以
上式所表示单缝衍射图样相对强度的分布情况,如图中的曲线所示.由上式可知,暗条纹（即I=0处）出现在
时,即暗条纹条件为
这和时（2）完全一致.由式（5）,求I为极大值的各处,即可算出明条纹区域中的最明处.令
可知,在,即
时,I取最大值.可用图解法求解上式,求得
所以除 （*明条中心）外,其余各处与式（3）所示的 值相比,都要向*移动少许,式（3）仅近似准确.
2、复振幅合成法求光栅衍射的光照度公式
设N是光栅的缝数,是衍射后有任二相邻缝发出的次级子波射达观察点的周期相差,则N个复振幅矢量将连成正多边形的一部分.N的数目越大,这个正多边形的一部分就越近于它的外接圆弧.设r为外接圆的半径,由图可知,这N个复振幅所对应的圆心角为N ,因此合成复振幅的模为
设从每一个缝发出的子波射抵观察点时复振幅的模用 表示,它所对的圆心角是 ,则
由以上二式并令 ,可以得到
将式 带入上式,可得
（1）
于是光栅衍射的光照度公式为
（2）
式中 ,和 仍分别满足式 和式 .
式（2）也可用复振幅积分法得到,仿前可写出光栅衍射产生的振动为
由此可求得光栅衍射所产生的合成照度为
这正是式（2）.
我们知道 的最大值是1,也可证明 的最大值等于 .仿照图的三个图,也能画出光栅衍射的照度分布曲线.请读者以N=8,为例绘出其图像.
总结,可知光栅的作用是这样的：光栅的每一个缝都要发生衍射作用,各缝的衍射光波再互相叠加而产生干涉条纹.一般的讲,在二相邻主级最大值之间会出现N-1个最小值（光照度是零）,一个主最大值两侧而最小值的间隔二倍于其它两相邻最小值的间隔,在二主级最大值之间会出现N-2个次级最大值.因而随着N的增大,各主级最大值的宽度变窄,光照度增强.这种条纹变窄、光照度增强的性能是光栅的一个重要优点.