若a＞0,b＞0,a+b=4,求【a+ （ 1/a)^2+【b+（1/b)^2的最小值
问题描述：
若a＞0,b＞0,a+b=4,求【a+ （ 1/a)^2+【b+（1/b)^2的最小值
答
构造函数f(t)＝t+(1/t)^2.
易得f"(t)＝6/t^4>0,
故f(t)为下凸函数,
可用Jensen不等式：
f(a)+f(b)≥2f[(a+b)/2]＝2f(2),
即(a+1/a^2)+(b+1/b^2)≥9/2.
故所求最小值为：9/2.能用均值不等式解吗？可以用均值不等式解答，
但运算量大，太麻烦：
a+b＝4→(1/16)(a+b)^2＝1.
∴(a+1/a^2)+(b+1/b^2)
＝(a+b)+(1/a^2+1/b^2)
＝4+(1/16)[(a+b)^2/a^2+(a+b)^2/b^2]
＝4+(1/16)[(1+b/a)^2+(1+a/b)^2]
≥4+(1/32)[2+(a/b+b/a)]^2
≥4+(1/32)[2+2√(a/b·b/a)]^2
＝4+(1/32)·16
＝9/2.
故所求最小值为9/2.
其实本题最简单的方法，
是用权方和不等式：
(a+1/a^2)+(b+1/b^2)
＝(a+b)+(1^3/a^2+1^3/b^2)
≥4+[(1+1)^3/(a+b)^2]
＝4+(8/16)
＝9/2.
故所求最小值为：9/2。你数学也太好了吧！